\begin{section}{Discusion}

\begin{subsection}{Respuestas a las preguntas del enunciado}
Para responder estas preguntas se crearon dos ejecutables, uno para la primera pregunta y otro para la segunda.
\par 
Ambos calculan las distintas curvas y luego evaluan si en los puntos de muestreo elegidos son iguales o no. La cantidad de puntos de muestreo depende de n, y es igual a $1000*n$, un n\'umero \textsl{grande}, que permite que los splines sean evaluados en una cantidad grande de puntos.
\par 
El primero realiza un spline en x y otro en y para cada una de las parametrizaciones, y luego evalua cada uno en los puntos de muestreo.
El segundo realiza un spline en x y otro en y cuando se mueve el punto, y otros cuando se agrega, como se explicó en la secci\'on de desarrollo en la subsecci\'on de modificaci\'on del spline.
	
	\begin{enumerate}
		\item En esta pregunta, se pide responder si la forma de la curva depende de si la parametrizaci\'on elegida es \textsl{uniforme}, \textsl{chord-length} o \textsl{centr\'ipeta}. 
		\par
		La forma efectivamente depende de la parametrización elegida, en los casos de test probados se pueden ver estos resultados. Si bien, en dichos gr\'aficos no es tan evidente esta variaci\'on si se observan por separado, ya que no es muy pronunciada la diferencia. En cambio, si se superponen ambos dibujos en un mismo gráfico se pueden observar las leves variaciones.  
		\item En esta pregunta, se pide responder si la forma de la curva cambia si es que se varia el spline agregando $(t, \bar{x}^*)$ y, $(t, \bar{y}^*)$ a los puntos de control parametrizados en x, e y; o si se vuelven a parametrizar todos los puntos.
		\par
		El dibujo que se forma deformando la curva, pero conservando la parametrización, cambia respecto al que se forma recalculando la parametrización, e interpolando después. 
		\par La razón es que, en el primer caso se fuerza a que $t$ tome un nuevo valor de $x(t)$ (coordenada x o y del nuevo punto), despreciando el valor que tenía antes de deformar el spline; por lo que toda la parametrización existente se rompe. En la segunda forma, el nuevo punto se considera como un caso totalmente nuevo que no depende de lo calculado, es decir teniendo los $n+1$ puntos se empieza el proceso nuevamente (encontrar la parametrización de los puntos y calcular los splines correspondientes). Esto hace que se mantenga la parametrización y sea consistente. 
		\par
		En los tests presentados en la sección de resultados se muestran gráficos comparando ambas formas de interpolar los nuevos puntos. En ellos se puede observar que efectivamente cambia calcularlo de la primer forma o de la segunda y en algunos casos cambia significativamente, como por ejemplo los casos de test 2.b, 3.a, 3.b, 4.a y 6.a. 		
		\item ------------------------------
		\item En esta pregunta, se pide analizar cómo se puede calcular más eficientemente el redibujar la curva contínuamente, mientras el usuario mueve el punto seleccionado. 
		\par
		Una opción de realizar esto más eficientemente, sería no recalcular los dos splines completamente mientras el usuario se encuentra moviendo el mouse. Se podría crear una función que vaya deformando el spline sólo en determinada cantidad de puntos. Para esto, se puede aprovechar el hecho que éste se define de a partes. Si el punto en el que el usuario se encuentra en un momento dado requiere de una deformación mayor, se puede ir rearmando el spline en forma de \textit{cascada}. Es decir, agrandar la cantidad de puntos en la que la condición de spline natural debe valer. No hace falta que las condiciones valgan en toda la curva, todo el tiempo que el mouse se encuentra en movimiento. Recién cuando el mouse se detiene, se rearman completamente los splines.
		\item En esta pregunta, se pide analizar si luego de mover el punto seleccionado cambia toda la curva (\textsl{control global}) o solamente una parte (\textsl{control local}) y qué consecuencias puede traer esto. 
		\par
		Como se mencionó en el item anterior se puede hacer que la condición de spline natural sólo valga en algunas partes, en este caso, en los puntos cercanos al punto de deformación. Obviamente esta opción tiene como consecuencia que no se puede asegurar que lo queda siga siendo un spline natural. Una solución sería ir modificando parte del spline, luego verficar si todo el spline sigue cumpliendo las condiciones. Si no la cumple, modifico el spline en un intervalo más grande. Por otro lado, si la cumple, entonces significa que no hace falta modificar más partes que conforman el spline.
		\item En esta pregunta se pide proponer una alternativa de muestreo que permita que los puntos de la curva correspondientes a los valores de muestreo queden espaciados de forma uniform. 
		\par Al calcular el muestro son los $t$ los que se espacean uniformemente, pero esto no implica que los puntos resultantes queden espaciados de la misma manera, ya que esto depende de la curva. En el caso de que se pudiera conseguir su longitud total, se podría, entonces, lograr una distancia uniforme entre los puntos.
			
	\end{enumerate}
\end{subsection}

\begin{subsection}{Respecto a la deformación de la curva}

\par Como se puede apreciar en los gráficos la forma en que estos se deforman al recalcular el spline depende del punto que se agregará a la curva. Por un lado se tiene el factor de la distancia. Si el punto se encuentra alejado del dibujo, resulta intuitivo pensar que éste deberá \textit{estirarse} para adaptarse al nuevo componente. Si el usuario desea reposicionarse en un punto bastante cercano a la curva original; es un poco más probable que siga manteniendo una forma similar a la inicial. Sin embargo, factores como la concavidad puede generar que una distancia cercana aún así genere dibujos bastantes deformados respecto al que se usó como base.
\par
\par Por otro lado también se sabe que no bastará con modificar los puntos de control cercanos al gráfico, ya que los splines vinculados a la curva deben seguir cumpliendo las condiciones de spline natural, lo que puede (y en los gráficos se puede observar que sucede) generar un efecto dominó, cambiando completamente la forma original.
\par 
\par Otro detalle a analizar en los gráficos son las distintas parametrizaciones implementadas. A nivel del dibujo en sí no se observan grandes modificaciones respecto al original. Sí se pueden observar algunos detalles de leve ensanchamiento o alargamiento de una curva, algunas hasta imperceptibles.

\par También se logra ver en los gráficos en los que se parametriza al agregar el nuevo punto, curvas más suaves en comparación con los dibujos en los que no se realiza parametrización alguna al deformar los splines. Esto se debe a que lo más correcto es parametrizar primero, ya que; como antes mencionamos, si se omite este paso, estamos forzando un punto. Dicha observación resulta más evidente en los test 2.a y 6.a

%comentar sobre el uso del metodo de biseccion y de regula falsi si se puede

\end{subsection}






\end{section}


